Семён Елизаров родился в Москве в 1983 году. В 5 лет начал обучаться игре на скрипке в средней специальной музыкальной школе имени Гнесиных, где занимался у педагогов Т.Н. Казанской и Т.С Беркуль. И уже в 11 лет стал Лауреатом Первой премии на Всероссийском конкурсе скрипачей имени А. Корсакова.  Ещё в школе, наряду с сольной деятельностью, начал участвовать в различных камерных ансамблях, а также оркестре   “Гнесинские виртуозы” под управлением Михаила Хохлова. В 2006 году окончил Московскую консерваторию им. П.И. Чайковского (класс Народного артиста СССР Э.Д. Грача), а в  2009  аспирантуру.

Большое количество своего свободного времени Семён Елизаров уделяет Дубненскому симфоническому оркестру, где уже 8 лет выступает как солист и концертмейстер оркестра.

С 2007 года и по настоящее время артист одного из ведущих оркестров мира Госоркестра России имени Е. Ф. Светланова под управлением Владимира Юровского.

С 2011 года и по настоящее время преподаватель по классу скрипки в МССМШ (колледж) им.Гнесиных.